Дифференцируем обе части

Практическая работа № 15.

Нахождение производных неявной функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование

Цель работы. Проверить знания и умения учащихся в нахождении производных неявной функции, функции, заданной параметрически, в нахождении производных логарифмическим дифференцированием.

Теоретический материал.

  1. Производная неявной функции.

Если функции задана уравнением, не разрешенным относительно

то для нахождения производной надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция по и затем разрешить полученное уравнение относительно Чтобы найти надо уравнение продифференцировать дважды по

Пример 1. Найти вторую производную от функции заданной неявно уравнением

Решение.

Дифференцируя по обе части данного равенства и считая при этом функцией по находим

Равенство (*) снова продифференцируем по

Пример 2. Найти значение в точке для Дифференцируем обе части функции

заданной неявно, если

Решение. ;

Подставим

Пример 3. Найти производную функции если

Решение.

;

Пример 4. Найти производную функции если

Решение.

Пример 5. Найти производную функции если

Решение.

;

;

Пример 6. Найти если

Решение.

; ;

Продифференцируем обе части равенства , получим

  1. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическая производная функции f(x)>0 есть производная от логарифма данной функции ln f(x):

Вычисление логарифмической производной называется логарифмическим дифференцированием. Логарифмическое дифференцирование применяется при вычислении производной степенно-показательной функции, т.е. функции вида:

А также при нахождении производной произведения нескольких функций или производной дроби.

Пример 1. Найти производную функции

Решение.

;

;

Пример 2. Найти производную функции

Решение:

;

Дифференцируем обе части

Пример 3.Найти производную функции

Решение:

;

Дифференцируем Дифференцируем обе части обе части

;

;

  1. Производная функции, заданной параметрически.

Если функция y=y(x) задана уравнением, не разрешенным относительно y, то для нахождения производной y¢ надо продифференцировать по х обе части этого уравнения, помня, что y есть функция от х, и затем разрешить полученное уравнение относительно y¢. Чтобы найти y¢¢, надо уравнение продифференцировать дважды по х и т.д.

Пример 1: Дана функция

Найти

Решение.

Пример 2: Найти производную , если функция задана параметрически:

Решение:

Используем правило .

Задания

1. Продифференцировать функции, используя метод логарифмического дифференцирования.

2. Продифференцировать функции, используя метод логарифмического дифференцирования.

3. Найти производную неявной функции

Найти у' и у".

3.1. у2 = 8xy+2x. 3.2. tg уx = 2х + 3у.

3.3. у = х Дифференцируем обе части + arctg у. 3.4. 6х - sin у = 4у

3.5. у2 +y= 25х - 4. 3.6. arcctg y = 4x + 5y.

3.7. у2 - х = cos у. 3.8. 3х + sin у = 5у.

3.9. tg у = Зх + 5у. 3.10. ху = ctg у.

3.11. у = еy + 4х. 3.12. ln у - у/х = 7.

3.13. y2 + x2 = sin y. 3.14. еy = 4х - 7у.



3.15. 4 sin2(x + y) = x. 3.16. sin y = 7x + 3y.

3.17. tg у = 4у - 5х. 3.18. у = 7х - ctg у.

3.19. ху - 6 = cos у. 3.20. 3у = 7 + ху3.

3.21. у2 = х + ln (у/х). 3.22. ху2 - у3 = 4х - 5.

3.23. х2у2 + х = 5у. 3.24. x4 + х2у2 + y = 4.

3.25. sin у = ху2 + 5. 3.26. х3 + у3 = 5х.

3.27 cos3(2х -у2) = 7 . 3.28. у2 = (х-у)/(х + у).

3.29. sin2(Зх + у2) = 5. 3.30. ctg Дифференцируем обе части2(х + y) = 5х.


documentalpaggn.html
documentalpanqv.html
documentalpavbd.html
documentalpbcll.html
documentalpbjvt.html
Документ Дифференцируем обе части